Ожидаемая доходность и риск портфеля

Портфель – это совокупность различных инвестици­онных инструментов, которые собраны воедино для дости­жения конкретной инвестиционной цели вкладчика. В порт­фель могут входить бумаги только одного типа, например акции или облигации, или различные инвестиционные ценности, такие как акции, облигации, депозитные и сберегательные сертификаты и т. д.

Главная цель в формировании портфеля состоит в дости­жении оптимального сочетания между риском и доходом для инвестора, т. е. соответствующий набор инвестиционных инструментов призван снизить до минимума риск его потерь и одновременно максимизировать его доход.

Ожидаемая доходность портфеля представляет со­бой взвешенную среднюю из показателей ожидаемой до­ходности отдельных ценных бумаг, входящих в данный пор­тфель:

Ожидаемая доходность и риск портфеля - №1 - открытая онлайн библиотека ,

где Mp – ожидаемая доходность портфеля; xi – доля порт­феля, инвестируемая в i-й актив; Mi -ожидаемая доходность i-го актива; n – число активов в портфеле.

Средние квадратические отклонения портфеля σр и σ со­ставляющих его ценных бумаг подобным алгоритмом уже не связаны. Теоретически можно подобрать две акции, каж­дая из которых имеет высокий уровень риска, и составить из этих высокорисковых активов портфель, который окажется абсолютно безрисковым (σр = 0).

Если имеются фактические данные по доходно­сти, среднеквадратическое отклонение рассчитывается по формуле

Ожидаемая доходность и риск портфеля - №2 - открытая онлайн библиотека

Данные по доходности акций А и приведены в таблице.

Год Доходность акции А, MА, % Доходность акции B, МB, % Доходность портфеля АB, Мр, %
-10  
-10  
 
 
 
Средняя доходность      
σ      

Каждая из акций имеет σ = ____% и, будучи рассмотрен­ной изолированно, является высокорисковой, однако объе­динение их в портфель АB с σ = 0 делает его безрисковым. Это становится возможным благодаря тому, что по­казатели их доходности изменяются в противоположных направлениях (т.е. между ними существует обратная функ­циональная связь).

Случаем, противоположным обратной функциональной связи, является прямая функциональная связь. Показатели доходности двух акций в этом случае изменяются в одном и том же направлении, а риск портфеля, состоящего из двух таких акций, будет равен риску каждой из них.

В действительности большинство активов положитель­но коррелируют друг с другом, но эта связь не является фун­кциональной. При таких условиях объединение акций в портфель снижает риск, но полностью его не уничтожает. Риск портфеля, состоящего из двух акций, меньше риска любой из них только в том случае, если коэффициент корреляции между этими акциями меньше, чем отношение их среднеквадратических отклонений, которое рассчитывается делением меньшего из них на большее:

Ожидаемая доходность и риск портфеля - №3 - открытая онлайн библиотека

Мерой риска портфеля может служить показатель среднеквадратического отклонения распределения доходно­сти.

Ожидаемая доходность и риск портфеля - №4 - открытая онлайн библиотека

где xpi – доходность портфеля, соответствующая i-му состоянию экономики; Mp – ожидаемая доходность портфе­ля; pi – вероятность того, что экономика будет находиться в i-м состоянии.

Для анализа риска портфеля активов используется понятие ковариации и коэффициента корреляции.

Ковариация – это мера, учитывающая дисперсию (разброс) индивидуальных значений доходности данной акции и всех других акций. Ковариация между акциями А и В опре­деляется из выражения:

Ожидаемая доходность и риск портфеля - №5 - открытая онлайн библиотека

Из выражения видно, что COV(A,B) имеет высо­кое положительное значение, если значения доходности двух активов изменяются однонаправлено и имеют высо­кую степень колеблемости. Она имеет высокое отрица­тельное значение, если значения доходности изменяются в противоположных направлениях. Она является низкой (близкой к 0), если колебания доходности двух активов но­сят случайный характер либо колеблемость доходности од­ного из них невелика.

В целях стандартизации на практике для измерения силы связи между двумя переменными используется коэффици­ент корреляции

Ожидаемая доходность и риск портфеля - №6 - открытая онлайн библиотека

Его значения лежат в интервале от - 1,0 (обратная функ­циональная связь) до +1,0 (прямая функциональная связь). Если значение rABблизко к 0, связь между переменными слабая.

Если предположить, что распределения доходности от­дельных ценных бумаг являются нормальными, то для оп­ределения риска портфеля, состоящего из двух активов, может использоваться следующая формула:

Ожидаемая доходность и риск портфеля - №7 - открытая онлайн библиотека ,

где х – доля портфеля, инвестируемая в ценную бумагу, тогда (1-х) – доля портфеля, инвестируемая в ценную бумагу В.

Эффективные портфели

Эффективными портфелями финансовых активов называются портфели, которые обеспечивают максималь­ную ожидаемую доходность при определенном уровне рис­ка или минимальный уровень риска при определенной ожидаемой доходности. Предположим, что необходимо вложить капитал в ценные бумаги А и В, причем распределение ка­питала между ними может быть любым. Ожидаемая до­ходность ценной бумаги А: MA = 6%, σA =3%; соответствен­но MB = 10%, σB = 9%. Задача состоит в определении мно­жества допустимых портфелей и затем выделении из до­пустимого множества эффективного подмножества. Рассмотрим три возможных значения rA,B (rA,B =+1,0;rA,B = 0;rA,B = -1,0) и вычислим по этим значениям ожидаемую доходность и среднеквадратическое отклонение портфеля.

Ожидаемая доходность и риск портфеля - №8 - открытая онлайн библиотека Ожидаемая доходность и риск портфеля - №7 - открытая онлайн библиотека

Доходности различных вариантов портфелей, состоящих из ценных бумаг А и В

Доля ЦБ А в портфеле (х) Доля ЦБ В в портфеле (1-х) Вариант 1 (rA,B =+1,0) Вариант 2 (rA,B =0) Вариант 3 (rA,B = -1,0)
Mp, % Ожидаемая доходность и риск портфеля - №10 - открытая онлайн библиотека ,% Mp,% Ожидаемая доходность и риск портфеля - №10 - открытая онлайн библиотека ,% Mp,% Ожидаемая доходность и риск портфеля - №10 - открытая онлайн библиотека ,%
1,00              
0,75              
0,50              
0,25              
0,00              

Значения приведем в таблице и отобразим графически.

Доходность а СКО б   Доходность в
                           
                         
                         
                         
                         
                         
                         
100%А 100%В 100%А 100%В 0 2 4 6 8 10
Структура портфеля Структура портфеля СКО
Доходность а СКО б   Доходность в
                           
                         
                         
                         
                         
                         
                         
100%А 100%В 100%А 100%В 0 2 4 6 8 10
Структура портфеля Структура портфеля СКО
Доходность а СКО б   Доходность в
                           
                         
                         
                         
                         
                         
                         
100%А 100%В 100%А 100%В 0 2 4 6 8 10
Структура портфеля Структура портфеля СКО

На рисунках в столбце а представлены графики матожиданий допустимого множества портфелей АВ для каждого варианта коэффициента корреляции, в столбце б – графики среднеквадратических отклонений, в столбце в – допустимые множества портфелей.

Все три варианта являются теоретическими в том смысле, что на практике они встречаются крайне редко. В действительностиrA,B большинства активов находится в пределах 0,5-0,7. Графики варианта 2 наиболее близки к реаль­ным примерам. Из графиков видно, что σр, в отличие от Mpзависит от коэффициента корреляции.

На рисунках в столбце в показаны допустимые или воз­можные множества портфелей, имеющих различную структуру. Являются ли все портфели, принадлежащие допусти­мому множеству, в равной степени хорошими? Ответ однозначен: нет. Только часть допустимого множества, лежа­щую в вариантах 2в и 3в, можно считать эффективной. В варианте 1 все допустимое множество является эффективным – ни одно из сочетаний не может быть исключено из рассмотрения.