Основы работы в среде Mathcad

Введение

Современный уровень развития прикладного программного обеспечения для решения задач вычислительной математики позволяет отказаться от использования языков программирования класса FORTRAN, C, PASCAL для решения инженерных задач среднего и даже высокого уровня сложности, связанных с проведением специальных вычислительных операций. К наиболее универсальным системам программирования математических задач, имеющим распространение, можно отнести ``MathCAD" (версии от 2.54 до 12+), ``Matlab" (версии 3.0-8.0), ``Mathematica 6.22", ``Mathview" и ряд других пакетов. Преимущества использования этих математических пакетов для решения расчетных задач прикладного характера, по сравнению с традиционными языками программирования, обусловлены значительно меньшей трудоемкостью написания и отладки вычислительной программы, что достигается за счет применения встроенного языка высокого уровня и удобного пользовательского интерфейса. Перечисленные выше системы могут быть разделены на две группы: 1) системы, обладающие APL-подобным языком программирования (три последних перечисленных пакета); 2) системы, имеющие встроенный процессор написания программ на внутреннем языке системы (MathCAD). В последнем пакете мощный графический интерфейс системы, максимально приближенный к традиционному математическому языку, позволяет пользователю целиком сосредоточиться на решаемой им задаче, а не думать о способах представления данных в памяти ЭВМ, размерностях массивов, типах переменных и т. п.

Указанные выше математические пакеты используются в преподавании ряда технических и естественнонаучных дисциплин. Математические пакеты первой группы, основным достоинством которых является эффективность написания и выполнения вычислительных программ, в которых осуществляются матричные операции линейной алгебры, применяются при изучении некоторых методов моделирования динамики и статики распределенных систем. В частности, такой распространенный численный метод решения задач, как метод конечных элементов для решения статических и динамических задач строительной механики, может быть легко запрограммирован в Мatlab-подобной системе программирования. При этом размер программы и время ее написания и отладки на 1-2 порядка меньше, чем в случае применения традиционного языка FORTRAN. Последнее обстоятельство позволяет учащимся больше внимания уделить сути рассматриваемого алгоритма, отвлекаясь от трудоемкого процесса программирования. Пакет ``Mathematica", имеющий много схожих с ``Matlab" внешних черт (в частности близкий язык программирования), дополнен мощным средством для проведения аналитических операций с математическими выражениями в символьной форме. Количество встроенных численных и символьных функций в этом пакете охватывает большинство математических вопросов, с которыми можно столкнуться в инженерной и исследовательской деятельности. Пакет ``Мathview", так же очень близкий по стилю к ``Matlab", обладает несколько более лучшим интерфейсом, по сравнению с последним, и может быть рекомендован к применению в учебных целях. Использование для расчета Matlab-подобных систем оправдано при необходимости проведения объемных вычислений с большим количеством матриц и в случае разветвленного логического дерева программы. Недостатком этих систем является меньшее быстродействие вычислительных программ. Однако для большинства учебных и практических целей быстродействия этих систем вполне достаточно.

Универсальная система программирования математических задач ``MathCAD" занимает особое место среди других математических пакетов, что связано с предельно упрощенным способом написания и визуального представления разработанных в системе программ. Вычислительная мощность последних версий системы может удовлетворить запросы весьма требовательных пользователей. Начиная с третьей версии, в этой системе возможны символьные операции. В учебном процессе система может использоваться для проведения лабораторных и практических работ по дисциплинам многоканальные системы телекоммуникаций, системы радиосвязи, радиовещания и телевидения, радиоэлектронные системы. Освоение системы позволяет студентам выполнять практические и курсовые задания высокой сложности и трудоемкости с точки зрения объема и характера вычислений, что было бы невозможно при применении традиционных языков и систем программирования (Cи, FORTRAN и т. д.). Так, начиная изучение MathCAD с решения простых задач, студенты овладевают достаточными навыками, чтобы решать в среде ``MathCAD" весьма трудоемкие в вычислительном плане задачи электродинамики (расчет антенн, моделирование электромагнитных полей в волноводах и резонаторах и т. д.). Очевидно, что это становится возможным исключительно благодаря ``дружественности" пользователю интерфейса этой системы.

Mathcad - универсальная программа, которая представляет собой автоматизированную систему, позволяющую динамически обрабатывать данные в числовом и аналитическом (формульном) виде. Программа Mathcad сочетает в себе возможности проведения расчетов и подготовки форматированных научных и технических документов. Mathcad, в отличие от аналогичных современных математических приложений (Mathematica, MathLab, Maple), построен в соответствии с принципом WYSIWYG («What You See Is What You Get») - (« что Вы видите, то Вы и получите»), поэтому он прост в использовании. Математические выражения на экране компьютера представлены в общепринятой математической нотации - имеют точно такой же вид, как в книге, тетради, на доске. Запись на языке, очень близком к стандартному языку математических расчетов, упрощает постановку и решение задач, благодаря чему Mathcad является сегодня наиболее популярным математическим приложением.

Mathcad ориентирован на IBM-совместимые ПК. Пакет работает в графическом режиме, т.к. только в этом режиме можно формировать на экране специальные математические символы и одновременно применять их вместе с графиками и текстом. Mathcad поддерживает работу со многими типами принтеров и плоттеров, с основными типами адаптеров и дисплеев. Поддерживаются все соглашения и возможности интерфейса Windows, OLE2-технология, архитектура «Клиент-сервер».

Mathcad - уникальный, мощный способ работать с уравнениями, числами, текстом, и графиками. В отличие от любого другого математического программного обеспечения, Mathcad производит математические вычисления тем же самым способом, каким это обычно делается. Дело в том, что они выглядят так, как будто они написаны карандашом и осуществляются при этом они сверхоперативно. Экранный интерфейс Mathcad - незаполненный рабочий лист, в которой Вы можете вводить уравнения, данные графика или функции, и аннотировать текстом - где-нибудь на странице. Mathcad - это идеальный математический инструмент для пользователей, работающих в области техники или естественных наук, а также для студентов, преподавателей и школьников. Mathcad выгодно отличается от других программ компьютерной математики возможностью свободно компоновать рабочий лист и легкостью в изучении. И вместо того, чтобы вынуждать Вас к использованию программно-подобного громоздкого синтаксиса, Mathcad позволяет Вам пользоваться изящным языком математики.

На языке программирования, например, уравнения выглядят следующим образом:

x=(-B+SQRT(B**2-4*A*C))/(2*A)

В электронной таблице, уравнения, вводящие значения в ячейки, выглядят похоже на что-нибудь вроде этого:

+(-B1+SQRT(B1*B1-4*A1*C1))/(2*A1)

В Mathcad, то же самое уравнение выглядит таким, каким Вы увидели бы его в тексте учебника или справочнике:

Основы работы в среде Mathcad - №1 - открытая онлайн библиотека

Единственная разница - в том, что уравнения Mathcad и графики являются живыми (действующими). Измените любые данные, переменную, или уравнение, и Mathcad повторно вычисляет математически и перерисовывает графики немедленно.

С Mathcad Вы можете решать в широких пределах технические проблемы - от простого к самому сложному - численно или символьно. Вы можете также делать видимыми уравнения и данные построением двухмерных и трехмерных графиков. Вы можете даже пояснять вашу работу графиками, взятыми из другого приложения Windows.

С Электронными Книгами Mathcad Вы также получаете богатство математического знания и возможность ссылаться на "живой" ("действующий") материал, готовый, по вашему желанию, к помещению в ваши рабочие листы.

Наиболее важно, что Mathcad дает Вам всю мощность, которая Вам необходима для выполненния работы - от начала до конца. С Mathcad Вы можете действительно делать это все - решать проблемы, формировать идеи, анализировать данные, моделировать, проверять сценарии, выбирать лучшее решение, затем документировать, представлять и выводить результаты.

При использовании связей Mathcad с электронной почтой, Lotus Notes®, и Всемирной Паутиной (World Wide Web), Вы можете также делиться вашими рабочими листами Mathcad с коллегами и другими профессионалами. Что означает, что Вы легко можете сотрудничать в течение любой стадии проекта - и Вы можете делать это на богатом и мощном языке математики.


Меню и панели инструментов

Главное меню (рис. 3) является вашими воротами к математическим выражениям, графике и символическим функциями, и обеспечивает команды, посредством которых Вы управляете вашими рабочими листами, и редактируете их.

Основы работы в среде Mathcad - №2 - открытая онлайн библиотека

Рисунок 3 – Главное меню

Подключение дополнительных панелей осуществляется следующим образом (рис. 4).

Основы работы в среде Mathcad - №3 - открытая онлайн библиотека

Рисунок 4 – Вид главного меню с активной позицией Вид/Панели

Используя общую наборную панель, можно вывести или все панели сразу, или только те, что нужны для работы. Для установки с их помощью необходимого шаблона (объекта) достаточно поместить курсор в желаемое место окна редактирования (красный крестик на цветном дисплее) и затем активизировать пиктограмму нужного шаблона, установив на него курсор мыши и нажав ее левую клавишу

Применение панелей для выбора шаблонов математических знаков очень удобно, поскольку не надо запоминать разнообразные сочетания клавиш, используемые для ввода специальных математических символов. Впрочем, и эта возможность сохранена, так что привыкшие к работе с клавиатурой пользователи, имевшие дело с более ранними версиями системы Mathcad (в том числе и под MS-DOS), могут воспользоваться навыками виртуозного набора формул и после перехода на новую версию системы.

Любую панель с математическими знаками можно переместить в удобное место экрана, уцепившись за ее верхнюю часть курсором мыши. Перемещая панель, левую клавишу мыши нужно держать нажатой. В верхнем левом углу каждой наборной панели помещена единственная маленькая кнопка с жирным знаком минуса, служащая для устранения панели с экрана, как только она становится ненужной.

Большинство кнопок на панелях выводят общепринятые и специальные математические знаки и операторы, помещая их шаблоны в место расположения курсора на документе.

Строка сообщения внизу Mathcad-окна (рис. 5) выдает Вам сигнал тревоги, подсказки, горячую клавиатуру, и другую полезную информацию.

Основы работы в среде Mathcad - №4 - открытая онлайн библиотека

Рисунок 5 – Строка сообщения

Там также перечисляются состояния вычислений в вашем рабочем листе - "авто", здесь означает, что рабочий лист находится в автоматическом режиме, что означает, что Mathcad автоматически повторно вычислит любые математические выражения, если Вы редактируете содержание вашего рабочего листа.

Меню в Mathcad похоже на меню приложений Microsoft Office (табл.1).

Таблица 1 - Меню Mathcad

Пункт меню Краткое описание назначения
Файл Стандартное меню MS Office  
Правка Команды: отменить результат операции, вырезать, копировать, вставить, найти, заменить, удалить, выделить все, проверить орфографию, создать связь с другими файлами, редактировать объект  
Вид Команды управления панелями инструментов (стандартная, форматирование, математика и др.), линейками и направляющими, настройка анимации, изменение масштаба изображения, изменение общих настроек программы  
Вставка Команды создания графиков, матриц, функций, рисунка, области и прочих объектов  
Формат Команды изменения шрифта, цвета, выравнивания, интервалов текста, изменение формата графика, области, колонтитулов
  Математика Команды обновления результатов вычисления, корректирование результатов, переключение между автоматическим и ручным вычислением, автоматическая оптимизация, изменение математических параметров
Символика     Команды вычисления выражений различными путями, упрощения, расширения, отложения, нахождения термов и коэффициентов полинома, работа с переменными и матрицами, преобразование переменных и изменение отображения символов ответов  
Окно Стандартные команды приложения Microsoft Office  
Помощь Стандартные команды приложения Microsoft Office

Предопределенные переменные

Mathcad содержит восемь переменных, значения которых определены сразу после запуска программы. Эти переменные называются предопределенными или встроенными переменными. Предопределенные переменные или имеют общепринятое значение, подобно  и e, или используются как внутренние переменные, управляющие работой Mathcad, подобно ORIGIN и TOL.

Хотя эти переменные уже имеют значения при запуске Mathcad, их можно переопределять. Например, если нужно использовать переменную, называемую e, со значением иным, чем используемое Mathcad, введите новое определение, например e:=2 . Переменная e примет в рабочем документе новое значение всюду ниже этого определения.

Предопределенные переменные Mathcad определены для шрифтов всех гарнитур, размеров и начертаний. Это означает, что, если переопределить e как показано выше, можно все еще использовать e, или e как основание натуральных логарифмов. Сказанное не относится к греческим буквам, то есть , хотя она печатается как “e” в шрифте Symbol, не одно и то же, что e.

Можно управлять значениями TOL, ORIGIN, PRNPRECISION и PRNCOLWIDTH без необходимости явно определять их в рабочем документе. Выберите Встроенные переменные из меню Математика /Опции- появится диалоговое окно, показанное ниже (рис. 6).

Чтобы установить новое значение любой из этих переменных, введите его в соответствующее поле и нажмите “OK”. Затем выберите Пересчитать всё из меню Математика, чтобы новое значение встроенной переменной было учтено при обсчете существующих формул.

Числа в скобках справа от имён переменных представляют значения по умолчанию этих переменных. Справа от полей указаны допустимые диапазоны значений переменных.

Ниже приводится полный список предопределенных переменных Mathcad и их значений по умолчанию (таблица 2).

Имена в Mathcad могут содержать любые из следующих символов:

· Прописные и строчные латинские буквы.

· Цифры 0 до 9.

· Знак подчёркивания ( _ ).

· Штрих ( ` ). Обратите внимание, что это не то же самое, что апостроф. Этот символ находится на одной клавише с тильдой (~).

· Символ процента (%).

· Греческие буквы. Чтобы вставить греческую букву, напечатайте соответствующую римскую букву и нажмите [Ctrl]G. Greek letters;in equations

· Символ бесконечности Основы работы в среде Mathcad - №5 - открытая онлайн библиотека , производимый нажатием [Ctrl]Z.

· Имена функций и переменных не могут включать пробелы или любые иные символы, не перечисленные выше.

· К именам переменных относятся следующие ограничения:

· Имя не может начинаться с цифры, знака подчеркивания(_ ), штриха ( ` ), или символа процента (%).

· Символ бесконечности Основы работы в среде Mathcad - №5 - открытая онлайн библиотека может быть только первым символом в имени.

· Любые символы, напечатанные после нажатия клавиши точки (.), будут записаны как нижний индекс.

· Все символы в имени должны быть напечатаны шрифтом одной гарнитуры, размера и начертания (курсив, полужирный, и т.д.). Это условие не накладывает ограничений на появление в любом имени греческих букв.

· Mathcad не делает различий между именами переменных и именами функций. Таким образом, если определить вначале f(x), а затем переменную f, окажется невозможным использовать f(x) где-либо ниже определения f.

· Некоторые имена уже используются Mathcad для встроенных констант, единиц измерения и функций. Хотя эти имена можно переопределить, имейте в виду, что это уничтожит их встроенные значения. Например, если определить переменную mean, встроенная функция Mathcad mean(v) не сможет больше использоваться.

Mathcad различает в именах символы верхнего и нижнего регистра. Например, diam - переменная, отличная от DIAM. Mathcad также различает в именах различные шрифты. Поэтому DIAM - также отличная от DIAM.

Основы работы в среде Mathcad - №7 - открытая онлайн библиотека

Рисунок 6 - Окно вкладки меню Математика /Опции/ Встроенные переменные

Таблица 2 - Предопределенные переменные Mathcad и их

значения по умолчанию

Переменная = значение по умолчанию Определение и использование
π = 3.14159 ... Пи. В численных расчетах Mathcad использует значение  с учётом 15 значащих цифр. В символьных вычислениях  сохраняет своё точное значение. Чтобы напечатать , нажмите [Ctrl]P.
e = 2.71828 ... Основание натуральных логарифмов. В численных расчетах Mathcad использует значение e с учётом 15 значащих цифр. В символьных вычислениях e сохраняет своё точное значение.
A = 10307 Бесконечность. В численных расчетах это заданное большое число. В символьных вычислениях - бесконечность. Чтобы напечатать Основы работы в среде Mathcad - №5 - открытая онлайн библиотека , нажмите [Ctrl]Z.
% = 0.01 Процент. Используйте его в выражениях подобных 10* % или как масштабирующий множитель в поле, отводимом для единиц размерности.
TOL = 10-3 Допускаемая погрешность для различных алгоритмов аппроксимации (интегрирования, решения уравнений и т.д.). Подробнее см. разделы по процедурам, использующим TOL.
ORIGIN = 0 Начало массива. Определяет индекс первого элемента массива.
PRNCOLWIDTH = 8 Ширина столбца, используемая при записи файлов функцией WRITEPRN.
PRNPRECISION = 4 Число значащих цифр, используемых при записи файлов функцией WRITEPRN.
FRAME = 0 Используется для создания и просмотра анимаций. Когда анимации не используются, равна нулю.

Примеры решения практических задач электродинамики и

Распространения радиоволн

Электромагнитные поля определяются [1] путём задания в каждой точке пространства четырёх векторов:

Основы работы в среде Mathcad - №9 - открытая онлайн библиотека (х,y,z,t) – вектор напряженности электрического поля Основы работы в среде Mathcad - №10 - открытая онлайн библиотека .

Основы работы в среде Mathcad - №11 - открытая онлайн библиотека (x,y,z,t) – вектор электрического смещения Основы работы в среде Mathcad - №12 - открытая онлайн библиотека .

Основы работы в среде Mathcad - №13 - открытая онлайн библиотека (x,y,z,t) – вектор индукции магнитного поля Основы работы в среде Mathcad - №14 - открытая онлайн библиотека .

Основы работы в среде Mathcad - №15 - открытая онлайн библиотека (x,y,z,t) – вектор напряженности магнитного поля Основы работы в среде Mathcad - №16 - открытая онлайн библиотека .

Эти векторы не являются независимыми. Попарно векторы Основы работы в среде Mathcad - №11 - открытая онлайн библиотека , Основы работы в среде Mathcad - №9 - открытая онлайн библиотека а также Основы работы в среде Mathcad - №13 - открытая онлайн библиотека , Основы работы в среде Mathcad - №15 - открытая онлайн библиотека связаны друг с другом с помощью материальных уравнений. Наиболее простой вид материальные уравнения имеют для однородных изотропных сред, относительные значения диэлектрической Основы работы в среде Mathcad - №21 - открытая онлайн библиотека и магнитной Основы работы в среде Mathcad - №22 - открытая онлайн библиотека проницаемостей которых имеют постоянные значения для любой точки наблюдения электромагнитного поля:

Основы работы в среде Mathcad - №23 - открытая онлайн библиотека ; Основы работы в среде Mathcad - №24 - открытая онлайн библиотека (2.1)

Вектора Основы работы в среде Mathcad - №11 - открытая онлайн библиотека , Основы работы в среде Mathcad - №9 - открытая онлайн библиотека , Основы работы в среде Mathcad - №13 - открытая онлайн библиотека , Основы работы в среде Mathcad - №15 - открытая онлайн библиотека в общем случае зависят как от координат точки наблюдения Основы работы в среде Mathcad - №29 - открытая онлайн библиотека так и от времени Основы работы в среде Mathcad - №30 - открытая онлайн библиотека и могут быть найдены из системы уравнений Максвелла, решениями которой они являются:

1) Основы работы в среде Mathcad - №31 - открытая онлайн библиотека Основы работы в среде Mathcad - №32 - открытая онлайн библиотека ;

2) Основы работы в среде Mathcad - №31 - открытая онлайн библиотека Основы работы в среде Mathcad - №34 - открытая онлайн библиотека ;

3) Основы работы в среде Mathcad - №35 - открытая онлайн библиотека Основы работы в среде Mathcad - №36 - открытая онлайн библиотека ; (2.2)

4) Основы работы в среде Mathcad - №35 - открытая онлайн библиотека Основы работы в среде Mathcad - №38 - открытая онлайн библиотека ;

Основы работы в среде Mathcad - №39 - открытая онлайн библиотека

В этих уравнениях: Основы работы в среде Mathcad - №40 - открытая онлайн библиотека - коэффициент удельной электропроводности среды, в которой рассматривается электромагнитное поле, Основы работы в среде Mathcad - №41 - открытая онлайн библиотека - напряженность электрического поля сторонних источников , Основы работы в среде Mathcad - №42 - открытая онлайн библиотека - объемная плотность сторонних электрических зарядов; Основы работы в среде Mathcad - №43 - открытая онлайн библиотека - плотность токов проводимости.

В дальнейшем будем называть сторонними токами, такие токи, которые вызываются электрическими полями Основы работы в среде Mathcad - №44 - открытая онлайн библиотека сторонних источников, причём, их плотность Основы работы в среде Mathcad - №45 - открытая онлайн библиотека может быть вычислена по формуле: Основы работы в среде Mathcad - №46 - открытая онлайн библиотека .

Отметим, что для полей независящих от времени

Основы работы в среде Mathcad - №47 - открытая онлайн библиотека .

В этом случае система (2.2) распадается на две независимые системы: а) систему уравнений электростатики, определяющую постоянные во времени поля Основы работы в среде Mathcad - №11 - открытая онлайн библиотека , Основы работы в среде Mathcad - №9 - открытая онлайн библиотека и б) систему уравнений магнитостатики, определяющую постоянные во времени поля Основы работы в среде Mathcad - №13 - открытая онлайн библиотека , Основы работы в среде Mathcad - №15 - открытая онлайн библиотека .

Для электромагнитных полей, зависящих от времени из системы уравнений Максвелла (2.2) следует взаимосвязь изменения их электрических и магнитных полей. Наиболее просто в этом убедиться, если рассматривать зависящее от времени электромагнитное поле в среде, в которой нет сторонних зарядов, сторонних токов , плотность которых может быть вычислена по формуле Основы работы в среде Mathcad - №46 - открытая онлайн библиотека , и отсутствует проводимость ( Основы работы в среде Mathcad - №53 - открытая онлайн библиотека ) .

Таким условиям соответствует электромагнитное поле в вакууме, в котором отсутствуют источники сторонних токов и зарядов. Очень близкими свойствами обладает сухой воздух, проводимостью которого в обычных условиях можно пренебречь.

В этом случае первые два уравнения системы (2.2) связывают между собой изменение в пространстве и времени электрического и магнитного полей. Отсюда следует основное свойство зависящих от времени электромагнитных полей, состоящее в согласованности изменения электрического и магнитного поля.

Так, при изменении во времени электрического поля возникает изменяющееся в пространстве переменное магнитное поле, которое приводит к появлению меняющегося в пространстве электрического поля. И, наоборот, при изменении во времени магнитного поля возникает изменяющееся в пространстве переменное электрическое поле, которое приводит к появлению меняющегося в пространстве магнитного поля.

Физическая причина такой взаимосвязи является следствием закона электромагнитной индукции и наличием тока смещения, связывающих между собой электрическое и магнитное поля. Причём, взаимосвязь электрических и магнитных полей имеет место даже в отсутствии сторонних токов и зарядов, являющихся источниками электромагнитного поля.

Процесс согласованного изменения электрического и магнитного полей в пространстве и времени, при распространении электромагнитного возмущения из одной точки пространства в другую, получил название электромагнитной волны.

Источниками электромагнитных волн, как это следует из системы уравнений Максвелла (2.2.), являются меняющиеся во времени сторонние токи и заряды.

Существование электромагнитных волн впервые было предсказано английским физиком М.Ф. Фарадеем в 1832г. В 1865г. английский физик Дж. К. Максвелл теоретически показал, что скорость распространения электромагнитных волн в вакууме равна скорости света. Подтверждение открытых свойств электромагнитных волн и обширные их экспериментальные исследования было сделано немецким физиком Г. Герцем (1887-1888).

В ходе экспериментальных исследований свойств электромагнитных волн Г. Герц обнаружил, что законы распространения электромагнитных волн и света одинаковы. В частности, у них одинаковый характер преломления и отражения от диэлектрических и металлических тел.

В большинстве случаев электродинамические задачи решаются, как и в радиотехнике, в спектральной области и решение ищется для гармонических процессов. Предполагается, что ЭМП имеет монохроматический характер, т.е. частота колебаний векторов ЭМП постоянна. В этом случае используется метод комплексных амплитуд (МКА). При этом имеется в виду

Основы работы в среде Mathcad - №54 - открытая онлайн библиотека . (2.3)

Величина Основы работы в среде Mathcad - №55 - открытая онлайн библиотека называется комплексной амплитудой функции Основы работы в среде Mathcad - №56 - открытая онлайн библиотека . Символ Re обозначает выделение действительной части комплексного числа Основы работы в среде Mathcad - №57 - открытая онлайн библиотека .

Аналогично можно записать в комплексной форме и векторную величину

Основы работы в среде Mathcad - №58 - открытая онлайн библиотека . (2.4)

Для дальнейшего анализа важны следующие свойства комплексных представлений гармонических процессов.

1) Дифференцирование Основы работы в среде Mathcad - №59 - открытая онлайн библиотека по времени t равносильно умножению Основы работы в среде Mathcad - №60 - открытая онлайн библиотека на Основы работы в среде Mathcad - №61 - открытая онлайн библиотека :

Основы работы в среде Mathcad - №62 - открытая онлайн библиотека . (2.5)

2) Интегрирование Основы работы в среде Mathcad - №59 - открытая онлайн библиотека по t равносильно делению Основы работы в среде Mathcad - №64 - открытая онлайн библиотека на Основы работы в среде Mathcad - №61 - открытая онлайн библиотека :

Основы работы в среде Mathcad - №66 - открытая онлайн библиотека . (2.6)

3) Справедливо следующее соотношение:

Основы работы в среде Mathcad - №67 - открытая онлайн библиотека , (2.7)

Основы работы в среде Mathcad - №68 - открытая онлайн библиотека , знак Основы работы в среде Mathcad - №69 - открытая онлайн библиотека означает усреднение по t в интервале Основы работы в среде Mathcad - №70 - открытая онлайн библиотека .

Рассмотрим некоторые примеры решения некоторых задач электродинамики.

Пример 1. Векторы электромагнитного поля. Уравнение состояния. Тензорные соотношения в электродинамике. Групповая скорость. Сопротивление излучение.

Рассмотрим основные понятия электродинамики, которые помогут в решении наших задач.

Основы работы в среде Mathcad - №71 - открытая онлайн библиотека вектор напряженности электрического поля, [В/м];

Основы работы в среде Mathcad - №72 - открытая онлайн библиотека вектор напряженности магнитного поля, [А/м];

Основы работы в среде Mathcad - №73 - открытая онлайн библиотека вектор электрической индукции, [Кл/м];

Основы работы в среде Mathcad - №74 - открытая онлайн библиотека вектор магнитной индукции, [Тл];

Для изотропных сред уравнение состояния

Основы работы в среде Mathcad - №23 - открытая онлайн библиотека

Основы работы в среде Mathcad - №24 - открытая онлайн библиотека

Для анизотропных сред уравнение состояния носят тензорный характер

Основы работы в среде Mathcad - №77 - открытая онлайн библиотека

Используя пакет Mathcad, для нахождения вектора электрической индукции D в анизотропной среде определим

Основы работы в среде Mathcad - №78 - открытая онлайн библиотека диэлектрическая проницаемость вакуума, [Ф/м].

Основы работы в среде Mathcad - №79 - открытая онлайн библиотека - относительная диэлектрическая проницаемость.

Основы работы в среде Mathcad - №80 - открытая онлайн библиотека вектор напряженности электрического поля, [В/м].

По формуле определяем вектор электрической индукции

Основы работы в среде Mathcad - №23 - открытая онлайн библиотека

Получаем

Основы работы в среде Mathcad - №82 - открытая онлайн библиотека .

Пример 2. Групповая скорость.

Основы работы в среде Mathcad - №83 - открытая онлайн библиотека ,

где Основы работы в среде Mathcad - №84 - открытая онлайн библиотека вектор Пойтинга. Его величина есть плотность потока мощности электромагнитного поля.

Основы работы в среде Mathcad - №85 - открытая онлайн библиотека плотность энергии.

Физический смысл Основы работы в среде Mathcad - №86 - открытая онлайн библиотека : скорость распространения энергии (скорость передачи информации).

Для нахождения групповой скорости в пакете Mathcad определим:

Основы работы в среде Mathcad - №87 - открытая онлайн библиотека вектор напряженности электрического поля, [В/м].

Основы работы в среде Mathcad - №88 - открытая онлайн библиотека [Гн/м]; Основы работы в среде Mathcad - №89 - открытая онлайн библиотека [В/м] - магнитная и диэлектрическая проницаемость вакуума.

Основы работы в среде Mathcad - №90 - открытая онлайн библиотека - относительную магнитную проницаемость.

Основы работы в среде Mathcad - №91 - открытая онлайн библиотека вектор напряженности магнитного поля, [А/м].

Основы работы в среде Mathcad - №92 - открытая онлайн библиотека диапазон значений относительной диэлектрической проницаемости.

Основы работы в среде Mathcad - №93 - открытая онлайн библиотека плотность энергии.

Основы работы в среде Mathcad - №94 - открытая онлайн библиотека вектор Пойтинга.

Основы работы в среде Mathcad - №95 - открытая онлайн библиотека искомая групповая скорость, ниже представлен полученный результат в виде графика зависимости (рис.11).

Пример 3. Сопротивление излучения.

Сопротивление излучения эквивалентно некоторому реальному активному сопротивлению, при подключении которого к линии передачи вместо антенны в нем рассеивается в виде тепла такая же мощность, которая излучается антенной в пространство. Значение сопротивления излучения необходимо при согласовании антенны с линией передачи.

[м/c]
Рисунок 11 – График зависимости групповой скорости от относительной диэлектрической проницаемости
Основы работы в среде Mathcad - №96 - открытая онлайн библиотека

Для нахождения сопротивления излучения в пакете Mathcad определим

Основы работы в среде Mathcad - №97 - открытая онлайн библиотека длину волны;

Основы работы в среде Mathcad - №98 - открытая онлайн библиотека диапазон её изменения.

Сопротивление излучения равно

Основы работы в среде Mathcad - №99 - открытая онлайн библиотека

Результаты расчета представим в виде графика (рис.12).

Основы работы в среде Mathcad - №100 - открытая онлайн библиотека
[Ом]
Основы работы в среде Mathcad - №101 - открытая онлайн библиотека

 
 
Рисунок 12 – График зависимости сопротивления излучения от величины Основы работы в среде Mathcad - №102 - открытая онлайн библиотека

Пример 4. Элементарный электрический излучатель.

На рис. 13 показан элементарный электрический вибратор – диполь Герца в виде короткого проводника, по которому течет ток Основы работы в среде Mathcad - №103 - открытая онлайн библиотека . Диполь расположен вдоль оси Z прямоугольной системы координат XYZ. Амплитуда тока Основы работы в среде Mathcad - №104 - открытая онлайн библиотека и его начальная фаза во всех точках диполя одинаковы, так как длина диполя Основы работы в среде Mathcad - №105 - открытая онлайн библиотека . На рисунке показана точка наблюдения Р в дальней зоне, заданная сферическими координатами Основы работы в среде Mathcad - №106 - открытая онлайн библиотека . Основы работы в среде Mathcad - №107 - открытая онлайн библиотека – проекция точки Р на плоскость ХY.

 
  Основы работы в среде Mathcad - №108 - открытая онлайн библиотека

Рисунок 13 - Диполь Герца

В электродинамике получено выражение, определяющее комплексную амплитуду вектора Е поля диполя в дальней зоне:

Основы работы в среде Mathcad - №109 - открытая онлайн библиотека , (2.8)

где r – расстояние от диполя до точки Р в дальней зоне;

Основы работы в среде Mathcad - №110 - открытая онлайн библиотека – волновое число свободного пространства;

Основы работы в среде Mathcad - №111 - открытая онлайн библиотека – диаграмма направленности диполя в плоскости Е;

Основы работы в среде Mathcad - №112 - открытая онлайн библиотека – диаграмма направленности диполя в плоскости Н.

Поляризация поля в дальней зоне линейная. Плоскостью Е является плоскость Основы работы в среде Mathcad - №113 - открытая онлайн библиотека , плоскостью Н – плоскость XY, т.е. Основы работы в среде Mathcad - №114 - открытая онлайн библиотека .Из выражения (9.1) следует, что в дальней зоне поле диполя Герца представляет собой сферическую волну, на что указывает множитель Основы работы в среде Mathcad - №115 - открытая онлайн библиотека .

Представим диаграмму направленности в полярной системе координат. Поле диполя Герца рассчитаем в дальней зоне.

Использую пакет Mathcad, определим поле такого вибратора в точке наблюдения, расстояние до которого составляет 100 метров.

Основы работы в среде Mathcad - №116 - открытая онлайн библиотека расстояние до вибратора [м].

Основы работы в среде Mathcad - №117 - открытая онлайн библиотека значение величины, обратной длине волны.

Основы работы в среде Mathcad - №118 - открытая онлайн библиотека амплитуда тока в проводнике.

Диэлектрическая и магнитная проницаемость вакуума соответственно равны Основы работы в среде Mathcad - №119 - открытая онлайн библиотека [В/м], Основы работы в среде Mathcad - №120 - открытая онлайн библиотека [Гн/м].

Выражения, определяющие поле вибратора в однородной изотропной среде

Основы работы в среде Mathcad - №121 - открытая онлайн библиотека .

При Основы работы в среде Mathcad - №122 - открытая онлайн библиотека Основы работы в среде Mathcad - №123 - открытая онлайн библиотека [В/м]; Основы работы в среде Mathcad - №124 - открытая онлайн библиотека [А/м].

Рассмотрим полученные графики зависимостей Основы работы в среде Mathcad - №125 - открытая онлайн библиотека и Основы работы в среде Mathcad - №126 - открытая онлайн библиотека от Основы работы в среде Mathcad - №127 - открытая онлайн библиотека (рис.14).

[А/м]
[В/м]
Основы работы в среде Mathcad - №128 - открытая онлайн библиотека

 
 
Рисунок 14 – Графики зависимостей Основы работы в среде Mathcad - №125 - открытая онлайн библиотека и Основы работы в среде Mathcad - №126 - открытая онлайн библиотека

Рассмотрим ДН в плоскости вектора E. (рис.15)

Основы работы в среде Mathcad - №131 - открытая онлайн библиотека

Плотность потока мощности диполя Герца выражается в виде

Основы работы в среде Mathcad - №132 - открытая онлайн библиотека

Основы работы в среде Mathcad - №133 - открытая онлайн библиотека [Вт].

Плотность потока энергии диполя Герца выражается в виде

Основы работы в среде Mathcad - №134 - открытая онлайн библиотека

При Основы работы в среде Mathcad - №135 - открытая онлайн библиотека , Основы работы в среде Mathcad - №136 - открытая онлайн библиотека [Вт/м2].

На рис. 16 представлены зависимости Основы работы в среде Mathcad - №137 - открытая онлайн библиотека и Основы работы в среде Mathcad - №138 - открытая онлайн библиотека в декартовой и полярной системе координат.

[Вт/м2]