Сушность метода конечных элементов

Динамика и прочность бытовых машин и приборов

Курсовой проект

Исследование прочности и жесткости конструкции методом конечных элементов.

Студент:

Васильев Фёдор Николаевич

гр. 2303

Преподаватель:

д.т.н., проф._Г.В. Лепеш

Санкт-Петербург

Задание на работу

  1. Изучить сущность метода конечных элементов.
  2. Выполнить расчетную схему конструкции.
  3. Провести дискретизацию области на конечные элементы.
  4. Подготовить данные для расчета.
  5. Провести расчет НДС элементов конструкции при заданных внешних силах.
  6. Определить и оценить наиболее нагруженные области конструкции.
  7. Увеличивая внешние силы довести конструкцию:

- до момента появления пластических деформаций;

-до момента разрушения

  1. Построить графики зависимости перемещения элемента конструкции от внешней силы.

Сушность метода конечных элементов

В методе конечных элементов (МКЭ) исходная в общем случае континуальная система заменяется дискретной моделью . Основная концепция МКЭ состоит в том, что любую непрерывную величину, такую, как напряжение или перемещение, аппроксимируют дискретной моделью, которая строится на множестве кусочно-непрерывных функций, определенных на конечном числе подобластей. Как правило, указанная непрерывная величина является неизвестной и подлежит определению в результате решения задачи.

При построении дискретной модели непрерывной величины поступают следующим образом:

1. В области определения функции выделяют элементы конечной величины, имеющие общие узловые точки и в совокупности аппроксимирующие форму области (проводят дискретизацию области).

2. Непрерывную величину аппроксимируют на каждом элементе полиномом, который определяется с помощью узловых значений этой величины (функции элементов).

3. Из функций элементов строят кусочно-непрерывную функцию, определенную на всей области.

4. Составляют систему уравнений путем минимизации функционала, связанного с физической задачей.

5. Решают указанную систему уравнений относительно узловых значений.

6. Вычисляют искомые величины в элементе.

Вывод основных уравнений МКЭ основывается на вариационных принципах решения дифференциальных уравнений в частных производных с использованием основной концепции метода. В наиболее общем объемном случае в пределах элемента перемещения представляют с помощью суммы аппроксимирующих функций

,

где fr(x,y,z) -заранее выбранные функции; -неизвестные параметры. Число параметров n выбирается равным числу узлов элемента, что дает возможность выразить смещения как линейные функции узловых смещений этого же элемента. Принимают, что смещение представляет линейную функцию координат и с помощью выражений для функций формы записывается с помощью матриц и векторов, содержащих блоки:

,

После того как сформирована матрица аппроксимирующих функций , вектор деформаций в n-КЭ можно записать с помощью матрицы дифференцирования

,

где матрица связи компонентов деформаций и узловых перемещений выражена зависимостью .

Для получения разрешающей системы уравнений используют начало возможных перемещений (для всего тела), что обеспечивает выполнение условий равновесия

,

Проинтегрировав по всем элементам, будем иметь (Nэ - число элементов) находим

Вследствие независимости произвольных вариаций {dUn} соотношение эквивалентно системе 3NЭ линейных алгебраических уравнений

Запись nÎi означает, что в уравнение входят только элементы, примыкающие к i-му узлу. Индекс i показывает, что в сумму входят составляющие, связанные с узлом i (в четырёхблочном векторе для тетраэдального элемента n сохраняется блок узла i).

Используя механическую трактовку уравнения, будем рассматривать отдельные слагаемые как обобщенные усилия , а величину , как матрицу жесткости элемента n.

Тогда если через {Pn} обозначить узловые усилия, которые статически эквивалентны граничным напряжениям ,

то уравнение для одного элемента имеет вид

.

Матрица жесткости элемента n имеет блочную структуру, связанную с блочной структурой векторов {Un} и {Pn} :

,

где kii,...,kmm - квадратные подматрицы (блоки) размерности (3´3),

,

где .

Подматрица kij показывает реакцию (обобщенное усилие) в узле i тетраэдра (элемента n) от единичного смещения его j-го узла при неподвижных узлах i, m, l.

Так как вся конструкция состоит из совокупности элементов, то матрицы жесткости отдельных элементов объединяются в матрицу системы.

В одном узле сетки обычно сходятся несколько элементов и каждый из них вносит вклад в матрицу жесткости, и i-я строка суммарной матрицы жесткости будет содержать соответствующие компоненты матриц жесткости элементов, примыкающих к i-му узлу, тогда матрица жесткости конструкции, содержащая N узлов,

.

Обозначая векторы внешних сосредоточенных в узлах сетки усилий и перемещений узлов сетки соответственно:

,

получим систему линейных уравнений относительно узловых смещений

.

По физическому смыслу уравнение) представляет собой уравнение равновесия системы (в смещениях). Для получения единственного решения система должна быть дополнена граничными условиями в перемещениях.