Критерий согласия Кол­могорова

По критериям согласия можно определить, вызваны ли расхождения между теоретической кривой и статистическим распределением только случайными обстоятельствами, связанными с ограниченным числом наблюдений, или они являются существенными и связаны с тем, что выбранная кривая плохо выравнивает данное статистическое распределение. Из критериев согласия наиболее распространены критерий Колмогорова и критерий χ2 Пирсона.

При применении критерия согласия Колмогорова в качестве меры расхождения между теоретическим и статистическим распределениями рассматривается максимальное значение модуля разности между теоретической F(t) и экспериментальной Fстат(t) интегральными функциями распределения (рисунок 7.2). В данном случае интегральными функциями распределения являются вероятности отказа. Заметим, что в некоторых источниках [10] статистическую интегральную функцию распределения Fстат(t) называют накопленной частостью Рн, а обычную статистическую функцию распределения fстат(t) - частостью Рi. На основании критерия Колмогорова экспериментальное распределение согласуется с выбранным теоретическим, если выполняется условие [4, 8, 10]

Критерий согласия Кол­могорова - №1 - открытая онлайн библиотека (7.35)

где ΔF = max [Fстат(t) - F(t)] - наибольшее отклонение теоретической кривой распределения от экспериментальной; n - общее количество экспериментальных данных.

Недостатком критерия Колмогорова является то, что он требует предварительного знания теоретического распределения, т.е. его можно применять, когда известны не только вид функции распределения F(t), но и ее параметры. Когда параметры теоретического распределения находятся по статистичес­ким данным, то критерий дает заведомо завышенные значения Δr, что может привести к неверным выводам.

Критерий согласия Кол­могорова - №2 - открытая онлайн библиотека
По данным ста­тистического ряда из таблицы 7.3 построим зависимости вероятностей отказа Fстат(t) и F(t) от времени (рисунок 7.2) и проверим гипотезу об экспоненциальном распределении времени исправной работы устройства, ис­пользуя критерий Колмогорова.

Из этого рисунка и таблицы 7.3 видно, что ΔF = 0,13. Проверяем соответствие закона по критерию согласия Колмогорова (7.35):

Критерий согласия Кол­могорова - №3 - открытая онлайн библиотека

В соответствии с формулой (7.35) считаем, что закон распределения экспоненциальный.

Если статис­тическая интегральная функция­ распределения (вероятность отказа) Fстат(t) известна Fстат(t) и F(t), а теоретическая функция­ распределения F(t) неизвестна, то согласие между теоретической кривой и статистическим распределением по критерию Колмогорова можно определить с помощью вероятностных сеток [8, 10, 14, 15]. Правила построения и применения вероятностных сеток изложены в СТ СЭВ 3542-82 [15].

В литературе, например в [8,15], имеются заранее приготовленные вероятностные сетки для различных законов распределения, называемые вероятностными бумагами. Если закон распределения соответствует закону, для которого построена вероятностная сетка, то интегральная функция теоретического закона распределения отображается на вероятностной бумаге в виде прямой, а если не соответствует, то в виде линии другой формы.

Для определения закона распределения по вероятностной бумаге необходимо сначала построить дискретный ряд распределения, если объем выборки n < 50, и интервальный ряд с количеством интервалов l при n > 50. Значение частот в интервалах обычно должно быть не менее пяти. В обоих случаях должны быть подсчитаны накопленные частости Рн, которые и представляют статистическую интегральную функцию распределе­ния Fстат(t).

В теории надёжности на вероятност­ную бумагу наносят не накопленные эмпирические частости Рн = Fстат(t), тождественные вероятности отказа, а разности 1- Рн, тождественные вероятности безотказной работы. Полученные экспериментальные точки аппроксимируются прямой ли­нией. Если опытные точки располагаются близко к прямой, то это свидетельствует в первом приближении о согласии опытных данных с тем законом распределения, для которого построе­на вероятностная бумага. Для более объективного построения прямой по опытным точкам рекомендуется использовать метод наименьших квадратов. При нанесении на вероятностную бумагу экспериментальных то­чек частости, соответствующие крайним значениям признака, обычно отбрасываются, так как количество данных для этих значений мало и получается большая погрешность [10].

После визуальной оценки по вероятностной бумаге согласия эмпирического распределения с выбранным теоретическим распределением необходимо проверить соответствие между ними по критерию Колмогорова (7.35). Если исследуется надёжность изделий с неизвестным законом, то перебирать несколько типов вероятностных бумаг, прежде чем будет найден подходящий закон, рекомендуется в таком порядке [8]: экспоненциальный, усеченный нормальный, логарифмически нормальный, Вейбулла, гамма.

Вид вероятностных бумаг для усеченного нормального и логарифмически нормального законов показан на рисунке 7.4, а пример использования вероятностной бумаги для экспоненциального закона для оценки согласия эмпирического распределения с выбранным теоретическим распределением показан на рисунке 7.3.

Пример 7.2 [8].

В результате опыта получен следующий вариационный ряд времен исправной работы изделия в часах: 2; 3; 3; 5; 6; 7; 8; 8; 9; 9; 13; 15; 16; 18; 20; 21; 25; 28; 35; 37; 53; 56; 69; 77; 86; 98; 119. Требуется установить закон распределения времени безотказной работы.

Критерий согласия Кол­могорова - №4 - открытая онлайн библиотека
Решение.

1. Используя исходные данные и вычислив Критерий согласия Кол­могорова - №5 - открытая онлайн библиотека , заполняем таблицу 7.10.

Таблица 7.10 - Данные к примеру 7.2

tί nί Нί Рн = Нί / n 1 - Рн
0,04 0,96
0,11 0,89
0,14 0,86
0,18 0,82
0,21 0,79
0,29 0,71
0,36 0,64
0,39 0,61
0,43 0,57
0,47 0,53
0,50 0,50
0,54 0,46
0,57 0,43
0,61 0,39
0,64 0,36
0,68 0,32
0,72 0 28
0,75 0,25
0,79 0,21
0,82 0,18
0,86 0,14
0,89 0,11
0,93 0,07
0,96 0,04
1,00 0,00

2. Проверяем согласие экспериментального распределения с экспоненциальным распределением. Наносим экспериментальные данные на координатную сетку (рисунок 7.3).

Критерий согласия Кол­могорова - №6 - открытая онлайн библиотека
3. Проводим через отметки прямую линию таким об­разом, чтобы отклонения точек от прямой были мини­мальными. Убеждаемся в возможности линейной интер­поляции. Находим и снимаем наибольшее отклонение. В нашем случае ΔF = D = 0,09.

4. Проверяем соответствие закона по критерию согласия Колмогорова (7.35):

Критерий согласия Кол­могорова - №7 - открытая онлайн библиотека

В соответствие с формулой (7.35) считаем, что закон распределения времени безотказной работы не противо­речит экспоненциальному.