Методы выделения тренда. Оценивание параметров трендовых моделей

Математическое выражение временной тенденции называется трендом. Методы выделения тренда. Оценивание параметров трендовых моделей - №1 - открытая онлайн библиотека . Моделями трендов выступают элементарные (а иногда и не очень элементарные (по Светуне)) функции. Могут быть линейные, квадратичные, многочлен 3ей степени, степенная, показательная , тригонометрическая и др. Можно использовать синтез этих моделей.

Для построения прогнозных моделей необходимо найти коэффициент функции, выступающей как модель тренда.

Метод средних:

Поскольку для построения прямой линии необходимо иметь на плоскости только 2 точки, можно исходный ряд значений {Yt} разбить на 2 части, t=[1;T]

1) t=[1;T/2] и 2) t=[T/2+1;T]

Для каждой из частей рассчитывается среднее арифметическое: Методы выделения тренда. Оценивание параметров трендовых моделей - №2 - открытая онлайн библиотека и Методы выделения тренда. Оценивание параметров трендовых моделей - №3 - открытая онлайн библиотека . Теперь легко построить систему 2х уравнений с 2мя неизвестными:

Методы выделения тренда. Оценивание параметров трендовых моделей - №4 - открытая онлайн библиотека , метод очень прост в использовании, коэф-т легко считается и необходимые рез-ты можно получить довольно быстро.

Если кол-во наблюдаемых яв-ся нечетным, то разделить ряд на 2 равные части не получится. Выбор способа разделения на 2 части становится субъективным. Задача построения наилучшей модели заключается в том, чтобы прямая линия прошла наилучшим образом через все точки, для этого необходимо конкретизировать понятие «наилучший образ».

Методы выделения тренда. Оценивание параметров трендовых моделей - №5 - открытая онлайн библиотека Методы выделения тренда. Оценивание параметров трендовых моделей - №6 - открытая онлайн библиотека

Методы выделения тренда. Оценивание параметров трендовых моделей - №7 - открытая онлайн библиотека

Поскольку линия коэф-ов Методы выделения тренда. Оценивание параметров трендовых моделей - №8 - открытая онлайн библиотека , получила различие Методы выделения тренда. Оценивание параметров трендовых моделей - №9 - открытая онлайн библиотека , то появляется возможность по отклонениям Методы выделения тренда. Оценивание параметров трендовых моделей - №9 - открытая онлайн библиотека подобрать модель с такими коэффициентами, чтобы модель была наилучшей с позиции некоторой ф-ии от Методы выделения тренда. Оценивание параметров трендовых моделей - №11 - открытая онлайн библиотека . Методы выделения тренда. Оценивание параметров трендовых моделей - №12 - открытая онлайн библиотека . Задание такого критерия приводит к простому решению, тогда сумма отклонений, положительных и отрицательных, наложатся и дадут 0.

МНК:

Мерой точности описания моделью реальных значений выступает ошибка аппроксимации. Применительно к линейному тренду это может быть записано так: Методы выделения тренда. Оценивание параметров трендовых моделей - №13 - открытая онлайн библиотека . При известных значениях исходных переменных Методы выделения тренда. Оценивание параметров трендовых моделей - №14 - открытая онлайн библиотека и t поведение ошибки аппроксимации определяется исключительными величинами двух коэф-ов Методы выделения тренда. Оценивание параметров трендовых моделей - №15 - открытая онлайн библиотека и Методы выделения тренда. Оценивание параметров трендовых моделей - №16 - открытая онлайн библиотека . Методы выделения тренда. Оценивание параметров трендовых моделей - №17 - открытая онлайн библиотека . Модель должна наилучшим образом проходить через все множество точек, а не в отдельной точке, поэтому выбирая модель, необходимо говорить о некоторой сумме ошибок на этом множестве. Поскольку ошибки аппроксимации могут быть положительными и отрицательными, их простая сумма м.б. =0. Эту неправильность можно избежать, если возвести в квадрат каждую ошибку и суммировать их: Методы выделения тренда. Оценивание параметров трендовых моделей - №18 - открытая онлайн библиотека . Поскольку каждая ошибка представляет собой ф-ию от коэф-ов модели, то и ∑ квадратов этих ошибок будет представлять собой ф-ию от этих коф-ов: Методы выделения тренда. Оценивание параметров трендовых моделей - №19 - открытая онлайн библиотека . Геометрически это ф-ия показывает насколько в среднем для всех точек далеко от них стоит модель. Модель должна проходить через множество точек наиболее близко к ним: : Методы выделения тренда. Оценивание параметров трендовых моделей - №20 - открытая онлайн библиотека . Ф-ия достигает своего мин (или макс), где 1ая произв =0. Необходимо вычислить частные производные и приравнять их к 0. В итоге получим:

Методы выделения тренда. Оценивание параметров трендовых моделей - №21 - открытая онлайн библиотека – «система нормальных уравнений» МНК.

Применяя к стационарным процессам, система нормальных ур-ий дает оценки коэф-ов.

1) Состоятельные – по вер-ти сходятся к оцениваемому пар-ру при неограниченном увеличении объема выборки

2) Несмещенные, т.е. в них отсутствуют систематические отклонения от оцениваемого параметра

3) Эффективные – оценки, дающие минимальную дисперсию.

Для модифицированной гиперболы: Методы выделения тренда. Оценивание параметров трендовых моделей - №22 - открытая онлайн библиотека :

Методы выделения тренда. Оценивание параметров трендовых моделей - №23 - открытая онлайн библиотека , МНК легко применить ко всем аддитивным моделям.

В случае модели, в которой неизвестные коэф-ты представлены в мультипликативной форме, ситуация изменится. Рассмотрим прогнозную модель нелинейного тренда – экспоненту: Методы выделения тренда. Оценивание параметров трендовых моделей - №24 - открытая онлайн библиотека .

Тогда Методы выделения тренда. Оценивание параметров трендовых моделей - №25 - открытая онлайн библиотека . Частные производные = 0:

Методы выделения тренда. Оценивание параметров трендовых моделей - №26 - открытая онлайн библиотека . Решить можно с помощью численных методов.

Задачу упрощают, сведя ее к линейному виду: Методы выделения тренда. Оценивание параметров трендовых моделей - №27 - открытая онлайн библиотека . Процедура приведения нелинейной модели к линейному виду – «линеаризация». Методы выделения тренда. Оценивание параметров трендовых моделей - №28 - открытая онлайн библиотека .

Методы выделения тренда. Оценивание параметров трендовых моделей - №29 - открытая онлайн библиотека , Методы выделения тренда. Оценивание параметров трендовых моделей - №30 - открытая онлайн библиотека .

Использование МНК приводит к тому, что полученные выборочные оценки будут являться состоятельными, несмещенными, эффективными. Но эти оценки характерны для линеаризованных моделей, а не для исходных моделей.

Методы выделения тренда. Оценивание параметров трендовых моделей - №24 - открытая онлайн библиотека , и Методы выделения тренда. Оценивание параметров трендовых моделей - №32 - открытая онлайн библиотека .

Несмещенность оценок МНК коэф-ов линеаризованной модели означает, что на рассматриваемом выборочном множестве сумма отклонений Методы выделения тренда. Оценивание параметров трендовых моделей - №33 - открытая онлайн библиотека будет = 0. Поскольку Методы выделения тренда. Оценивание параметров трендовых моделей - №34 - открытая онлайн библиотека , то получим: Методы выделения тренда. Оценивание параметров трендовых моделей - №35 - открытая онлайн библиотека . Обозначим аддитивную ошибку: Методы выделения тренда. Оценивание параметров трендовых моделей - №36 - открытая онлайн библиотека , то Методы выделения тренда. Оценивание параметров трендовых моделей - №37 - открытая онлайн библиотека , и Методы выделения тренда. Оценивание параметров трендовых моделей - №35 - открытая онлайн библиотека . Приравниваем друг к другу правые части равенства: Методы выделения тренда. Оценивание параметров трендовых моделей - №39 - открытая онлайн библиотека . Отсюда Методы выделения тренда. Оценивание параметров трендовых моделей - №40 - открытая онлайн библиотека .

Методы выделения тренда. Оценивание параметров трендовых моделей - №41 - открытая онлайн библиотека

Методы выделения тренда. Оценивание параметров трендовых моделей - №42 - открытая онлайн библиотека , ⇒ Методы выделения тренда. Оценивание параметров трендовых моделей - №43 - открытая онлайн библиотека . Знак ∑ определен в силу положительности прогнозируемых переменных !!! выражения: Методы выделения тренда. Оценивание параметров трендовых моделей - №44 - открытая онлайн библиотека . S положит отклон-ий > отриц-х. Методы выделения тренда. Оценивание параметров трендовых моделей - №45 - открытая онлайн библиотека . Модель яв-ся смещенной. Т.к. Методы выделения тренда. Оценивание параметров трендовых моделей - №46 - открытая онлайн библиотека , то Методы выделения тренда. Оценивание параметров трендовых моделей - №47 - открытая онлайн библиотека . Это означает, что модель в среднем пройдет ниже исход-х точек.

Вывод: линеаризация нелинейных моделей ухудшает аппроксимацию и прогнозные св-ва моделей.